有理数の稠密性

(2019日）






有理数も無理数も稠密性が証明された。
だからといって、有理数と無理数が交互に並んでいる訳ではないのでしょう。
穴だらけだがぎゅうぎゅうに詰まっていると言う方なのでしょう。

【大学数学】ガンマ関数③(n次元球の体積)【解析学】

(2019日）





詰まりかけギリギリの綱渡り状態での勉強だったが、
今回はかなり面白かった。

円の面積をも体積と考える、ｎ次元球の式、体積、表面積を考えた。

式は、xに番号をつけて、ｎ番までして、＝＜r^2

準備として、Vn=Cnr^n と微分したＳn を用意。
ガウス積分を拡張したＩn の式を使って、
ガウス積分と式内に表面積Snが現れる2通りで求めた結果を結び、
Cn、Vn、Snが求まった。

もちろん、n=3 を入れて成立。
その際、Γ(1/2)=√πを覚えていたので求まった。

【大学数学】ガンマ関数②(収束性の証明)【解析学】

(2019日）





12分の授業を4倍の48分かけて視聴。
収束することが証明された。
自分で書くことはできない。

球の表面積だけでなく、4次元5次元の表面積をガンマ関数を使って
扱うことができるようだ。
次回が楽しみです。

【大学数学】ガンマ関数①(定義と性質)【解析学】

(2019日）







階乗を一般化できるなぞ考えもつかない。
放物線のようなグラフができるが、0.5となる頂点の値が知りたくなる。

√π/2 ≒　0.8862 となった。


ガウス積分の復習にもなり、楽しかった。
複素数の範囲で階乗の一般化ができるそうですが、
楽しみです。

【大学数学】各点収束と一様収束(関数列の極限)【解析学】

(2019日）






後半の10分を数度見る。

x^n が一様収束でないことを証明するのに、
x=(1-1/n)^n を使い　n→∞　とすると　1/πとなる。
ここからsup を取ると　差は当然に　1/π以上となる。
定義から０では無いので一様収束でないとなる。

この一様収束であるならば、
極限と積分の順序変更が可能となる。

100%のスッキリ感はないが、喜ぶこととする。

【大学数学】supとinf(上限と下限)【解析学】

(2018日）





最大値最小値ではない上限下限のことだった。

いちいち「含む含まない」という言い方で考える必要がなくなる。
脳が綺麗になった感覚ですね。

【大学数学】テイラー展開の気持ち【解析学】

(2017日）







「今週の積分」が終わった直後に視聴すべき授業と思ったが、
階乗と微分を重ねる式に視覚で圧倒されてしまい、拒否反応となる。
何度か再チャレンジを試みるも度々アウト。
避け続けてきましたが、とうとう重積分の第4講で必要となり、心して再視聴する。
幸い、e^x　という具体例で何とかマクローリン展開の意味はつかめたと思います。
最後のsinxの表示もイメージで理解するに助かった。

【大学数学】重積分③(置換積分法)/全4回【解析学】

(2018日）






正解がπlog2 で、私はlog2πとしたが、ご愛嬌としたい。
調べてみると、iやπ、e は先に書くとのことだった。

喜ぶことにする。

【大学数学】重積分②(累次積分法)/全4回【解析学】

(2018日）






積分範囲が片方に依存する時に適切な修正をしなければならない。
という例題２だったが、
分かったような気なので、更に数を熟す必要がありそうだ。

ここでしっかりと復習に時間を割く必要があるのでしょうが、
重積分の残り２つの授業を早く見たいという欲求に従います。

【大学数学】重積分①(その意味)/全4回【解析学】

(2018日）






今まで数回、重積分がでてきて掛け算として分かった気でいた。
が、今回、曲面を上から見た影があり、その一点からｚまでの四角柱の体積と知る。
本質的な理解となり感激です。